Bài viết

Căn bậc hai của 3 – Wikipedia tiếng Việt

24

Căn bậc hai của 3 là một số thực dương sao cho khi nhân với chính nó thì cho ra số 3. Chính xác hơn, nó được gọi là căn bậc hai số học của 3, để phân biệt với số tâm có cùng tính chất. Nó được kí hiệu là √3 hoặc 31⁄2.

Căn bậc hai của 3 là một số vô tỉ. Nó còn được biết là hằng số Theodorus, đặt tên theo Theodorus xứ Cyrene, người đã chứng minh tính vô tỉ của nó.

Sáu mươi chữ số tiên phong trong trình diễn thập phân của nó là :

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580 …

(dãy số A002194OEIS)

Thuật toán giám sát[sửa|sửa mã nguồn]

Có 1 số ít cách để xê dịch giá trị của √ 3. Thuật toán thường được dùng trong những máy tính cá thể và máy tính bỏ túi là giải pháp Babylon để tính căn bậc hai của một số ít. Các bước thực thi như sau :

  1. Lấy một số

    a0 > 0

    bất kì làm giá trị ban đầu (càng gần

    √3

    càng tốt)

  2. Tính từng số hạng theo công thức truy hồi sau:
a n + 1 = 1 2 ( a n + 3 a n ). { \ displaystyle a_ { n + 1 } = { \ frac { 1 } { 2 } } \ left ( a_ { n } + { \ frac { 3 } { a_ { n } } } \ right ). }{\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\frac {3}{a_{n}}}\right).}
  1. Lặp lại bước 2 cho đến khi đạt được độ chính xác cần thiết.

Dãy (an) trên là dãy hội tụ bậc hai, tức mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số thập phân đúng. Bắt đầu với a0 = 1 cho ta các xấp xỉ:

  • a1 =

    7/4

    = 1.75

  • a2 =

    97/56

    = 1.73214…

  • a3 =

    18817/10864

    = 1.73205081…

  • a4 =

    708158977/408855776

    = 1.732050807568877295…

Tháng 12 năm 2013, giá trị của √ 3 đã được tính đến tối thiểu mười tỉ chữ số thập phân. [ 1 ]

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa|sửa mã nguồn]

Phân số 97/56 ( 1732142857 … ) hoàn toàn có thể được dùng làm giao động cho căn bậc hai của 3. Tuy chỉ có mẫu số 56, nó chỉ cách biệt giá trị đúng ít hơn 1/10, 000 ( khoảng chừng 92 × 10 − 5 ). Giá trị làm tròn 1.732 đúng đến 99.99 % giá trị thực .

Archimedes khẳng định rằng (1351/780)2
> 3 > (265/153)2
,[2] lần lượt với sai số là 1/608400 (sáu chữ số thập phân) và 2/23409 (bốn chữ số thập phân).

Liên phân số[sửa|sửa mã nguồn]

√ 3 hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bằng phân số liên tục [ 1 ; 1,2,1,2,1,2,1, … ] ( dãy số A040001 trong bảng OEIS ), tức là

3 = [ 1 ; 1, 2 ¯ ] = 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + ⋱. { \ displaystyle { \ sqrt { 3 } } = [ 1 ; { \ overline { 1,2 } } ] = 1 + { \ cfrac { 1 } { 1 + { \ cfrac { 1 } { 2 + { \ cfrac { 1 } { 1 + { \ cfrac { 1 } { 2 + { _ { \ ddots } } } } } } } } } }. }{\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;{\overline {1,2}}]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{_{\ddots }}}}}}}}}}.}

Theo đặc thù của liên phân số thì nếu

[ 1 2 1 3 ] n = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1 và 2 \ \ 1 và 3 \ end { bmatrix } } ^ { n } = { \ begin { bmatrix } a_ { 11 } và a_ { 12 } \ \ a_ { 21 } và a_ { 22 } \ end { bmatrix } } }{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}}

thì khi n 🡒 ∞

3 = 2 ⋅ a 22 a 12 − 1 { \ displaystyle { \ sqrt { 3 } } = 2 \ cdot { \ frac { a_ { 22 } } { a_ { 12 } } } – 1 }{\displaystyle {\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1}

Ngoài ra cũng hoàn toàn có thể biễu diễn dưới dạng liên phân số tổng quát như

[ 2 ; − 4, − 4, − 4 ,. .. ] = 2 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − ⋱ { \ displaystyle [ 2 ; – 4, – 4, – 4, … ] = 2 – { \ cfrac { 1 } { 4 – { \ cfrac { 1 } { 4 – { \ cfrac { 1 } { 4 – { _ { \ ddots } } } } } } } } }{\displaystyle [2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{_{\ddots }}}}}}}}}

thực chất là [1;1,2,1,2,1,2,1,…] tính hai số hạng cùng lúc.

Biểu diễn bình phương[sửa|sửa mã nguồn]

Biểu thức bình phương lồng nhau sau tiến về √ 3 :

3 = 2 − 2 ( 1 2 − ( 1 2 − ( 1 2 − ( 1 2 − … ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 = 7 4 − 4 ( 1 16 + ( 1 16 + ( 1 16 + ( 1 16 + … ) 2 ) 2 ) 2 ) 2. { \ displaystyle \ ! \ { \ sqrt { 3 } } = 2-2 \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } – \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } – \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } – \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } – \ dots \ right ) ^ { 2 } \ right ) ^ { 2 } \ right ) ^ { 2 } \ right ) ^ { 2 } = { \ frac { 7 } { 4 } } – 4 \ left ( { \ frac { 1 } { 16 } } + \ left ( { \ frac { 1 } { 16 } } + \ left ( { \ frac { 1 } { 16 } } + \ left ( { \ frac { 1 } { 16 } } + \ dots \ right ) ^ { 2 } \ right ) ^ { 2 } \ right ) ^ { 2 } \ right ) ^ { 2 }. }{\displaystyle \!\ {\sqrt {3}}=2-2\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}={\frac {7}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}.}

Chứng minh tính vô tỉ[sửa|sửa mã nguồn]

Chứng minh bằng lùi vô hạn[sửa|sửa mã nguồn]

Chứng minh thường được dùng cho tính vô tỉ của √ 3 sử dụng chiêu thức lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này hoàn toàn có thể được vận dụng cho bất kỳ số nguyên nào không phải là số chính phương .

  1. Giả sử

    √3

    là một số hữu tỉ, tức

    √3

    có thể viết dưới dạng một phân số tối giản

    a

    /

    b

    , trong đó a và b nguyên tố cùng nhau.

  2. Ta suy ra

    a2

    /

    b2

    = 3

    hay

    a2 = 3b2

    .   (

    a2 và b2

    là các số nguyên)

  3. Do đó

    a2

    chia hết cho 3, nên

    a

    cũng chia hết cho 3, tức tồn tại số nguyên

    k

    sao cho

    a = 3k

    .

  4. Thay

    3k

    cho

    a

    trong đẳng thức ở bước 2:

    3b2 = (3k)2

    ta được

    b2 = 3k2

    .

  5. Lập luận như bước 3, ta được

    b2

    là số chia hết cho 3, nên

    b

    cũng chia hết cho 3.

  6. Như vậy cả

    a

    b

    đều chia hết cho 3, nên chúng có một ước chung là 3, trái với giả thiết rằng

    a

    b

    là hai số nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh bằng định lý nghiệm hữu tỉ[sửa|sửa mã nguồn]

Một chứng minh khác cho tính vô tỉ của √3 là sử dụng một trường hợp đặc biệt của định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu P(x) là một đa thức monic (tức đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1) với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của P(x) cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức P(x) = x2 − 2, ta suy ra √3 hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì 1 < √3 < 2 nên nó không là một số nguyên, do đó √3 là một số vô tỉ.

Hình học và lượng giác[sửa|sửa mã nguồn]

√ 3 là độ dài cạnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn có nửa đường kính bằng 1. Tương tự, nếu một tam giác đều có cạnh 1 bị chia làm hai nửa bằng nhau, mỗi nửa là một tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền bằng 1, cạnh góc vuông là 50% và √ 3/2. Từ đó ta suy ra được giá trị những hàm số lượng giác của 60 ° và 30 ° .

sin ⁡ 60 ∘ = 3 2 tan ⁡ 60 ∘ = 3 { \ displaystyle { \ begin { aligned } và \ sin 60 ^ { \ circ } = { \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } } \ \ [ 4 pt ] và \ tan 60 ^ { \ circ } = { \ sqrt { 3 } } \ end { aligned } } }{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\\[4pt]&\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\end{aligned}}}

Căn bậc hai của 3 cũng Open trong biểu thức đại số của nhiều hằng số lượng giác như [ 3 ]

sin ⁡ 15 ∘ = 2 4 ( 3 − 1 ) tan ⁡ 15 ∘ = 2 − 3 sin ⁡ 3.75 ∘ = sin ⁡ π 48 = 1 2 2 − 2 + 2 + 3 cos ⁡ 3.75 ∘ = sin ⁡ π 48 = 1 2 2 + 2 + 2 + 3 { \ displaystyle { \ begin { aligned } \ sin 15 ^ { \ circ } và = { \ frac { \ sqrt { 2 } } { 4 } } ( { \ sqrt { 3 } } – 1 ) \ \ \ tan 15 ^ { \ circ } và = 2 – { \ sqrt { 3 } } \ \ \ sin 3.75 ^ { \ circ } và = \ sin { \ frac { \ pi } { 48 } } = { \ frac { 1 } { 2 } } { \ sqrt { 2 – { \ sqrt { 2 + { \ sqrt { 2 + { \ sqrt { 3 } } } } } } } } \ \ \ cos 3.75 ^ { \ circ } và = \ sin { \ frac { \ pi } { 48 } } = { \ frac { 1 } { 2 } } { \ sqrt { 2 + { \ sqrt { 2 + { \ sqrt { 2 + { \ sqrt { 3 } } } } } } } } \ end { aligned } } }{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)\\\tan 15^{\circ }&=2-{\sqrt {3}}\\\sin 3.75^{\circ }&=\sin {\frac {\pi }{48}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}\\\cos 3.75^{\circ }&=\sin {\frac {\pi }{48}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}\end{aligned}}}

Ngoài ra √3 còn là khoảng cách giữa hai cạnh đối nhau của hình lục giác đều có cạnh 1, hay là đường chéo của hình lập phương đơn vị.

Ứng dụng khác[sửa|sửa mã nguồn]

Kỹ thuật điện[sửa|sửa mã nguồn]

Trong điện lực, hiệu điện thế giữa hai dây pha ( điện áp dây ) trong mạng lưới hệ thống điện ba pha bằng √ 3 nhân hiệu điện thế của giữa một dây pha và dây trung hòa ( điện áp pha ). Đây là do hai pha cách nhau 120 °, và hai điểm cách nhau 120 độ trên đường tròn thì có khoảng cách bằng √ 3 nhân nửa đường kính đường tròn đó .

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

0 ( 0 bình chọn )

Cây tri thức

https://caytrithuc.net
Nền tảng tri thức Việt

Ý kiến bạn đọc (0)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bài viết liên quan

Bài viết mới