Bài viết

Nhóm nhị diện – Wikipedia tiếng Việt

31

Trong toán học, một nhóm nhị diện là một nhóm các đối xứng của một đa giác đều,[1][2] gồm các phép quay, các phép phản xạ và các phép quay phi chính. Nhóm nhị diện là một trong những ví dụ đơn giản nhất của các nhóm hữu hạn, có vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm, hình học và hóa học.

Các thành phần[sửa|sửa mã nguồn]

The six axes of reflection of a regular hexagon

Một đa giác đều với

n

{\displaystyle n}

n cạnh có

2
n

{\displaystyle 2n}

{\displaystyle 2n} đối xứng khác nhau: có

n

{\displaystyle n}

đối xứng quay và

n

{\displaystyle n}

đối xứng phản xạ. Thường thì ta chỉ xét

n

3

{\displaystyle n\geq 3}

{\displaystyle n\geq 3}. Các phép quay và phản xạ nói trên tạo nên nhóm nhị diện

D

n

{\displaystyle \mathrm {D} _{n}}

{\displaystyle \mathrm {D} _{n}}. Nếu

n

{\displaystyle n}

lẻ, mỗi trục đối xứng nối trung điểm của một cạnh sang điểm đối diện. Nếu

n

{\displaystyle n}

chẵn, thì ta có

n

/

2

{\displaystyle n/2}

{\displaystyle n/2} trục đối xứng nối trung điểm của các cạnh đối diện nhau và

n

/

2

{\displaystyle n/2}

trục đối xứng giữa hai điểm đối diện. Bất kể trường hợp nào, ta đều có

n

{\displaystyle n}

trục đối xứng và

2
n

{\displaystyle 2n}

phần tử trong nhóm.[3] Phản xạ qua một trục đối xứng theo sau một phản xạ khác qua một trục đối xứng khác sẽ cho phép quay với góc bằng hai lần góc giữa hai trục.[4]

Bức ảnh sau minh họa tác động của 16 phần tử của nhóm

D

8

{\displaystyle \mathrm {D} _{8}}

{\displaystyle \mathrm {D} _{8}} trên biển giao thông:

Dihedral8.png

Hàng tiên phong trình diễn ảnh hưởng tác động dưới phép quay, và hàng thứ hai trình diễn tác động ảnh hưởng của phép phản xạ, Trong đó mỗi trường hợp ảnh hưởng tác động với biển bắt đầu tại góc trên bên trái .

Cấu trúc nhóm[sửa|sửa mã nguồn]

Giống như mọi đối tượng hình học, hợp của hai đối xứng của một đa giác đều cũng là đối xứng của nó. Với phép hợp thực thi như một phép toán hai ngôi, Các đối xứng của đa giác đều hình thành nên cấu trúc đại số của nhóm hữu hạn. [ 5 ]
0, S1, và S2 được giữ nguyên (trên giấy) và không di chuyển khi phép đối xứng (quay hoặc phản xạ) được thực hiện trên tam giácCác đường phản xạ được gọi là S, S, và Sđược giữ nguyên ( trên giấy ) và không vận động và di chuyển khi phép đối xứng ( quay hoặc phản xạ ) được triển khai trên tam giác 0, S1, và S2 được giữ nguyên (trên giấy) và không di chuyển khi phép đối xứng (quay hoặc phản xạ) được thực hiện trên tam giácCác đường phản xạ được gọi là S, S, và Sđược giữ nguyên ( trên giấy ) và không vận động và di chuyển khi phép đối xứng ( quay hoặc phản xạ ) được triển khai trên tam giác The composition of these two reflections is a rotation .Bảng Cayley sau cho thấy tác động ảnh hưởng của nhóm D3 ( những đối xứng của tam giác đều ). r0 là thành phần đơn vị chức năng ; r1 và r2 biểu lộ phép quay ngược kim đồng hồ đeo tay 120 ° và 240 ° tương ứng, còn s0, s1 và s2 biểu lộ phản xạ quả ba đường như trong ảnh sau .

r0 r1 r2 s0 s1 s2
r0 r0 r1 r2 s0 s1 s2
r1 r1 r2 r0 s1 s2 s0
r2 r2 r0 r1 s2 s0 s1
s0 s0 s2 s1 r0 r2 r1
s1 s1 s0 s2 r1 r0 r2
s2 s2 s1 s0 r2 r1 r0

Ví dụ, s2s1 = r1, vì phản xạ s1 theo sau phản xạ s2 tạo thành phép quay 120 °. Phép hợp không có tính giao hoán. [ 5 ]

Tổng quát thì, nhóm Dn có r0, …, rn−1 và s0, …, sn−1, với phép hợp thỏa mãn công thức sau:

r i r j = r i + j, r i s j = s i + j, s i r j = s i − j, s i s j = r i − j. { \ displaystyle \ mathrm { r } _ { i } \, \ mathrm { r } _ { j } = \ mathrm { r } _ { i + j }, \ quad \ mathrm { r } _ { i } \, \ mathrm { s } _ { j } = \ mathrm { s } _ { i + j }, \ quad \ mathrm { s } _ { i } \, \ mathrm { r } _ { j } = \ mathrm { s } _ { i-j }, \ quad \ mathrm { s } _ { i } \, \ mathrm { s } _ { j } = \ mathrm { r } _ { i-j }. }{\displaystyle \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.}

Trong mọi trường hợp, cộng và trừ các phần tử

i
,
j

{\displaystyle i,j}

{\displaystyle i,j} dùng phép toán modulo với modulo n.

Biểu diễn ma trận[sửa|sửa mã nguồn]

Các đối xứng của ngũ giác này là những phép biến hóa tuyến tính trên một mặt phẳng như 1 khoảng trống vecto .

Nếu ta đặt tâm của đa giác đều tại gốc tọa độ O trong hệ tọa độ, thì các phần tử trong nhóm nhị diện hoạt động tương tự như các phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng. Nó giúp ta biểu diễn các phần tử củaDn thành các ma trận, với phép hợp là phép nhân ma trận.Đây là ví dụ của biểu diễn nhóm (2 chiều).

Để lấy ví dụ, những thành phần của nhóm D4 hoàn toàn có thể trình diễn bằng 8 ma trận sau đây :

r 0 = ( 1 0 0 1 ), r 1 = ( 0 − 1 1 0 ), r 2 = ( − 1 0 0 − 1 ), r 3 = ( 0 1 − 1 0 ), s 0 = ( 1 0 0 − 1 ), s 1 = ( 0 1 1 0 ), s 2 = ( − 1 0 0 1 ), s 3 = ( 0 − 1 − 1 0 ). { \ displaystyle { \ begin { matrix } \ mathrm { r } _ { 0 } = \ left ( { \ begin { smallmatrix } 1 và 0 \ \ [ 0.2 em ] 0 và 1 \ end { smallmatrix } } \ right ), và \ mathrm { r } _ { 1 } = \ left ( { \ begin { smallmatrix } 0 và – 1 \ \ [ 0.2 em ] 1 và 0 \ end { smallmatrix } } \ right ), và \ mathrm { r } _ { 2 } = \ left ( { \ begin { smallmatrix } – 1 và 0 \ \ [ 0.2 em ] 0 và – 1 \ end { smallmatrix } } \ right ), và \ mathrm { r } _ { 3 } = \ left ( { \ begin { smallmatrix } 0 và 1 \ \ [ 0.2 em ] – 1 và 0 \ end { smallmatrix } } \ right ), \ \ [ 1 em ] \ mathrm { s } _ { 0 } = \ left ( { \ begin { smallmatrix } 1 và 0 \ \ [ 0.2 em ] 0 và – 1 \ end { smallmatrix } } \ right ), và \ mathrm { s } _ { 1 } = \ left ( { \ begin { smallmatrix } 0 và 1 \ \ [ 0.2 em ] 1 và 0 \ end { smallmatrix } } \ right ), và \ mathrm { s } _ { 2 } = \ left ( { \ begin { smallmatrix } – 1 và 0 \ \ [ 0.2 em ] 0 và 1 \ end { smallmatrix } } \ right ), và \ mathrm { s } _ { 3 } = \ left ( { \ begin { smallmatrix } 0 và – 1 \ \ [ 0.2 em ] – 1 và 0 \ end { smallmatrix } } \ right ). \ end { matrix } } }{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}}

Tổng quát thì, các ma trận cho nhóm Dn có dạng sau:

r k = ( cos ⁡ 2 π k n − sin ⁡ 2 π k n sin ⁡ 2 π k n cos ⁡ 2 π k n ) và s k = ( cos ⁡ 2 π k n sin ⁡ 2 π k n sin ⁡ 2 π k n − cos ⁡ 2 π k n ). { \ displaystyle { \ begin { aligned } \ mathrm { r } _ { k } và = { \ begin { pmatrix } \ cos { \ frac { 2 \ pi k } { n } } và – \ sin { \ frac { 2 \ pi k } { n } } \ \ \ sin { \ frac { 2 \ pi k } { n } } và \ cos { \ frac { 2 \ pi k } { n } } \ end { pmatrix } } \ \ { \ text { và } } \ \ \ mathrm { s } _ { k } và = { \ begin { pmatrix } \ cos { \ frac { 2 \ pi k } { n } } và \ sin { \ frac { 2 \ pi k } { n } } \ \ \ sin { \ frac { 2 \ pi k } { n } } và – \ cos { \ frac { 2 \ pi k } { n } } \ end { pmatrix } }. \ end { aligned } } }{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{và}}\\\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}

rk là ma trận xoay, xoay ngược kim đồng hồ 1 góc 2πk/n. sk là phản xạ qua đường tạo góc với trục x một gốc πk/n.

0 ( 0 bình chọn )

Cây tri thức

https://caytrithuc.net
Nền tảng tri thức Việt

Ý kiến bạn đọc (0)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bài viết liên quan

Bài viết mới